PROBABILIDAD
Teoría de conjuntos
CONJUNTO: La palabra conjunto
denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna
característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.
La característica esencial de un conjunto
es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular,
determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el
conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero
el 19 no.
Los objetos que forman un conjunto son
llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las
letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:
{ a, b, c, ..., x, y, z}
Como se muestra el conjunto se escribe
entre llaves ({}) , o separados por comas (,).
El detallar a todos los elementos de un
conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración
de los elementos.
Dos conjuntos son iguales si tienen los
mismos elementos, por ejemplo:
El conjunto { a, b, c } también puede
escribirse:
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a },
{ c, a, b }, { c, b, a }
En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos
por ejemplo:
El conjunto { b, b, b, d, d }
simplemente será { b, d }.
MEMBRESIA
Los conjuntos se denotan por letras
mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:
A={ a, c, b }
B={ primavera, verano, otoño, invierno
}
SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8
} y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos que B esta
contenido en A, o que B es subconjunto de
A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un
subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL
El conjunto que contiene a todos los
elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal,
este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y
algunas veces con la letra S (espacio muestral).
Por ejemplo si solo queremos referirnos
a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:
U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
Forma alternativa para indicar
conjuntos de gran importancia:
- Conjunto
de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde
N={ 1, 2, 3, .... }
- Conjunto
de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde
Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
- Conjunto
de números racionales (números que se representan como el cociente de dos
números enteros {fracciones }). Estos números se representan por unaQ
- Conjunto
de números irracionales (números que no puedan representarse como el
cociente de dos números enteros) representados por la letra I.
- Conjunto
de los números reales que son los números racionales e irracionales es
decir todos, representados por R.
Todos estos conjuntos tienen un número
infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por
enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace
referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la
notación llamada comprehensión.
UNION
La unión de dos conjuntos A y B la
denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota
por:
A È B = { x/x Î A ó
x Î B }
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3,
5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10,
11, 12 }
INTERSECCION
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={
2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes a los dos
conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B;
y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe
así:
A Ç B = { x/x Î A
y x Î B }
Y se lee el conjunto de elementos x que
están en A y están en B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k }
y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }
CONJUNTO VACIO
Un conjunto que no tiene elementos es
llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo Æ .
Por ejemplo:
Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 }
encontrar A Ç B.
A Ç B= { }
El resultado de A Ç B= { }
muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará
conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:
A Ç B=Æ
CONJUNTOS AJENOS
Sí la intersección de dos conjuntos es
igual al conjunto vacío, entonces a estos conjuntos les llamaremos conjuntos
ajenos, es decir:
Si A Ç B = Æ entonces
A y B son ajenos.
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto
al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se
denota como A' y que se representa por comprehensión como:
A'={ x Î U/x y x Ï A
}
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }
DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia
de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de
A que no están en B y se representa por comprehensión como:
A - B={ x/x Î A ; X Ï B
}
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que
solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación
fuera B - A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y
no en A.
DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn que de deben al
filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre
conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.
La manera de representar el conjunto
Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.
Un ejemplo de la representación del
conjunto universal se muestra como:
Los conjuntos se representan por medio
de dibujos dentro del rectángulo, los aspectos de interés se resaltan
sombreando las áreas respectivas. En el caso de este curso las indicaremos por
medio de un color azul por ejemplo:
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dos eventos son mutuamente excluyentes si no
pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es
vacía. Por ejemplo:
Pacientes
que son insulinodependientes y pacientes que no lo son
Se dice que un evento A es independiente de un
evento B, si la probabilidad de que A suceda no está influenciada porque B haya
o no sucedido.
EVENTOS INDEPENDIENTES
Dos o más eventos
son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene
efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Por
ejemplo:
Paciente que
presenta aumento de su temperatura corporal, en relación a las horas que
duerme.
EVENTOS DEPENDIENTES
Dos o más
eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos
afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Por ejemplo:
Paciente diabético que presenta hipoglucemia
VALIDEZ
La validez se
define como la capacidad de un instrumento (por ejemplo, un cuestionario o una
prueba de laboratorio) para medir lo que intenta medir, ésta sólo puede
determinarse si existe un procedimiento de referencia, también conocido como
estándar de oro, el cual, es considerado como un procedimiento definitivo para
establecer si alguien tiene la característica de interés. Por ejemplo, una
prueba que sólo puede un resultado positivo o negativo (i. e., binario; véase
tabla 1).
Para tal
situación, es necesario entender dos conceptos importantes como lo son la
sensibilidad y la especificidad de una prueba.
La
sensibilidad de una prueba responde a las siguientes preguntas:
• ¿Cuántos
resultados positivos se obtendrán en los individuos enfermos?
• ¿Cuántos
casos del total de casos en la población estudiada pueden identificarse por el
resultado de la prueba?
Por lo tanto, podemos definir la
sensibilidad de una prueba como la proporción de los individuos clasificados
como positivos por el estándar de oro que se identifican correctamente por la
prueba en estudio.
donde:
a=
verdaderos positivos
a+c=
total de casos positivos (enfermos)
VP/FN= verdaderos positivos/falsos negativos
El valor que puede asumir la
sensibilidad varía del 0 al 1 (100%), es decir, cuanto más alto es elvalor, hay
una mejor capacidad en la detección de enfermos por medio de la prueba.
Una sensibilidad baja produce pérdida
de casos que pudieran ser tratados, siendo más seria la situación de que a
mayor gravedad de padecimiento dejar a pacientes enfermos como fuente de infección
en la comunidad representaría un costo alto.
No existe un nivel mágico de
sensibilidad que determine que una prueba sea aceptable; por ejemplo, en cáncer
de colon 75% (1 de cada 4 retrasará su diagnóstico).
ESPECIFIDAD
La especificidad de una prueba en
estudio se refiere a la proporción de los individuos clasificados como
negativos por el estándar de oro que se identifican correctamente por la prueba
en estudio.
Este parámetro responde a las
siguientes preguntas:
• ¿Cuántos resultados negativos en
personas sin la enfermedad?
• ¿Cuántos individuos sanos se
confirmarán por el resultado de la prueba?
donde:
a=
verdaderos negativos
a+c=
total de casos negativos (sanos)
VN/FP= verdaderos negativos/falsos positivos
Al igual que la sensibilidad, el valor
de la especificidad varía del 0 al 1 (100%), lo que significa que cuanto mayor
sea el valor mayor capacidad de detección de sujetos sanos por la prueba.
Además de la sensibilidad y la especificidad de una prueba, se han desarrollado
otros parámetros para poder determinar qué tanta validez tiene ésta al ser
utilizada como prueba diagnóstico. Entre estos parámetros se encuentra el valor
predictivo. El valor predictivo positivo de la prueba responde a las siguientes
preguntas:
• ¿De todos los resultados positivos,
cuántos se han encontrado en persona que sufren la enfermedad?
• ¿Cuál es la probabilidad en el caso
de un resultado positivo de la prueba de que la persona realmente esté enferma?
Este índice se calcula de
la siguiente manera:
El valor obtenido representa la
probabilidad de que alguien con un resultado positivo en la prueba en estudio,
tenga la característica de interés.
Por otra parte, el valor predictivo
negativo de la prueba responde las siguientes preguntas:
·
¿Qué proporción de todos los resultados negativos corresponde a personas
realmente sanas (sin la enfermedad)?
·
¿Cuál es la probabilidad de que las personas con resultados negativos no
tengan la enfermedad?
El cálculo se realiza de la
siguiente forma:
Este valor representa la probabilidad
de que alguien con un resultado negativo en la prueba en estudio no tenga la
característica de interés.
También es posible obtener el valor
predictivo global de la proporción de resultados válidos entre la totalidad de
las pruebas efectuadas:
El valor predictivo de un resultado depende en gran parte de lo común
que sea la enfermedad bajo estudio, esto es, cuando la prevalencia es baja, la
obtención de un resultado negativo permitirá descartar con mayor seguridad la
enfermedad, teniendo entonces un valor predictivo negativo mayor. Por el
contrario, un resultado positivo no permitirá confirmar el diagnóstico, teniendo
entonces un bajo valor predictivo positivo. Respecto a los valores óptimos o
esperados que deben asumir los valores predictivos de una prueba, hasta ahora
no se han propuesto niveles deseables en particular. Sin embargo, se asume que
si el valor es menor al 50%, es más probable que realmente no se encuentre la
enfermedad presente, lo significa que a más alto valor, el pronóstico es más
valioso.
Es importante tener en cuenta que basar resultados en la prevalencia de
una enfermedad a veces resulta complicado, por lo que es útil el uso de otros
índices que nos permitan determinar cuánto más probable es un resultado
concreto según la ausencia o presencia de enfermedad, por ello, se ha
desarrollado el concepto de razón de verosimilitudes, razón de probabilidades o
cociente de probabilidades.
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
Una distribución de probabilidad la podemos
concebir como una distribución teórica de frecuencia, es decir, es una
distribución que describe como se espera que varíen los resultados. Dado que
esta clase de distribuciones se ocupan de las expectativas son modelos de gran
utilidad para hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de
incertidumbre.
DISTRIBUCION BINOMIAL
La variable “y” debe tomar uno de dos posibles
valores, estos resultados mutuamente excluyentes podrían representar vida y
muerte, salud y enfermedad, hombre y mujer.
Para simplificar se les denomina fracaso y
éxito.
Formula:
p(y=1) = p
p(y=0) = 1-p
DISTRIBUCION DE POISSON
Esta distribución es una de las
más importantes distribuciones de variable
discreta. Sus principales aplicaciones hacen
referencia a la modelización de situaciones en las que nos interesa determinar
el número de hechos de cierto tipo que se pueden producir en un intervalo de
tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad y ciertas circunstancias
restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consideración límite de
procesos dicotómicos reiterados un gran número de veces si la probabilidad de
obtener un éxito es muy pequeña.
DISTRIBUCION NORMAL
Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ). Su grafica es la campana de Gauss.
El
área del
recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto
al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
La
probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
Y su fórmula es:
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